NILAI HARAPAN: VARIABEL ACAK (DISCRETE VARIABLES).

Anjas Asmara
21090113120020

NILAI HARAPAN: VARIABEL ACAK (DISCRETE VARIABLES).

X adalah varibel acak dimana dapat diambil dari N angka kemungkinan: 

  x1 , x2 .......xn

12 N

12 N

Diberikan variabel random X. Variabel random ini dapat mengambil n nilai berbeda dengan probabilitas p₁,p₂,p₃,.....p_n.

Manakah dari pernyataan-pernyataan berikut yang benar?

 

PENYELESAIAN : p₁ + p₂ + ..... + pn = 1 

Petunjuk

• Jika X merupakan variabel random dengan n nilai berbeda dengan probabilitas X = x_i sedemikian hingga P(X=x_i) = p_i, maka:
  0 ≤ p_i ≤ 1          untuk setiap i

Pembahasan

• Jika X merupakan variabel random dengan n nilai berbeda dengan probabilitas X = x_i sedemikian hingga P(X=x_i) = p_i, maka:
  0 ≤ p_i ≤ 1          untuk setiap i
  Selain itu, jumlahan probabilitas dari semua nilai yang dapat diambil X sama dengan 1. Secara matematis,
  p₁ + p₂ + p₃ + ..... + p_n = 1

Ukuran Letak (Presentil)

Nama : Fatha Makhrusyah

NIM : 21090114120068

 Persentil (P)

Persentil adalah ukuran letak yang membagi suatu kelompok data menjadi seratus bagian yang sama besar setelah data diurutkan dari nilai terendah sampai tertinggi. Dengan demikian terdapat 99 persentil, yaitu P_1, P₂, P₃, … , P₉₉.

1) Persentil Data Tunggal rumus persentil data tunggal Dengan i = 1-99.

P_i  = Persentil ke-i

i = 1, 2, 3, … , 99

n = banyak data

Contoh soal

Diketahui : 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.

Penyelesaian :

Data diurutkan : 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11

Letak persentil ke-30 di urutkan data ke- 30(10 + 1)/100 = 330/100 = 3,3

P30 = x3 + 0,3 (x4 – x3) = 5 + 0,3 (6 – 5) = 5,3

Jadi, P30 = 5,3

Letak persentil ke- 75 di urutkan data ke- 75(10 + 1)/100 = 8,25

P75 = x8 + 0,25 (x9 – x8) = 9 + 0,25 (10 – 9) = 9,25

Jadi, P75 = 9,25.

 2) Persentil untuk data berkelompok

persentil ke-i dari data ber kelompok dirumuskan sebagai berikut.

 

 Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Dari data di atas tentukan persentil ke-25

Penyelesaian:

Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:

Estimasi Tunggal dan Rentang Keyakinan

NAMA      : Niko Aditya Kriswan

NIM         : 21090114140154


Estimasi Parameter

       -          Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter.

       -          Nilai parameter-parameter tersebut umumnya tidak diketahui.

       -          Nilai parameter tersebut diperkirakan berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data.

       -          Estimasi :

      o   Estimasi Tunggal (Point Estimates)

      o   Rentang Keyakinan (Coinfidence Intervals)

Estimasi Tunggal (Point Estimates)

-          Nilai rata-rata sampel sebagai estimasi nilai rata-rata populasi

-          Nilai simpangan baku sampel sebagai estimasi nilai simpangan baku populasi :

Estimasi Parameter θ

Dicari suatu rentang [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa rentang tsb mengandung θ.

-           L = batas bawah rentang keyakinan

-          U = batas atas rentang keyakinan

-          (1 – α) = tingkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient)

-          L dan U = variabel random

Contoh

Data pengukuran temperatur udara di Yogyakarta pada periode 1991 s.d. 2014 menunjukkan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30°C. Kita dapat memperkirakan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30°C. Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa temperatur udara rata-rata sama dengan 30°C adalah hampir tidak mungkin terjadi:

Batas Atas dan Batas Bawah

-          Metode Ostle: method of pivotal quantities

Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui. Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga:

§  Persamaan di atas diubah kedalam bentuk

prob(L < θ < U) = 1− α

§  L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ

Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal

-          Mencari interval [L,U] yang mengandung μ,

prob(L < μ < U) = 1 – α

-          Misal variabel random V:

o   V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom

o   n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-rata sampel

Contoh :

Korelasi Peringkat

NAMA     : Ahmad Fauzan
NIM        : 21090112140086



 Jika pasangan itu tidak berdasarkan asumsi bahwa pasangan-pasangan data (X,Y) mengikuti distribusi normal, dilakukan pengujian koefisien korelasi peringkat (rank correlation coefficient), pembahasannya dikenal dengan statistika bebas distribusi atau statistika non parametrik.

 Prosedurnya:

 Dengan cara menyusun peringkat pasangan data tersebut dari urutan tertinggi.

 Maka koefisien korelasinya dihitung dengan rumus korelasi Spearman (The Spearmant rank correlation coefficient), sebagai berikut:

 Dengan kriteria pengujian:
 , maka hipotesis menyatakan tidak ada hubungan antara variabel X dan Y harus ditolak.
  , maka hipotesis menyatakan tidak ada hubungan antara variabel X dan Y harus diterima.
 = nilai batas daerah kritis.

Contoh 5.
Tentukan niali koefisien korelasi peringkat contoh 1 pada derajat kepercayaan 95% ?

Jawab.
 Tabel dibawah ini menunjukan perhitungan peringkat variabel curah hujan (X) dan debet (Y) dari DPS Cimanuk-leuwigoong.

 Didapat

 Untuk  , dari tabel E untuk n=12 didapat Nk =0,504. Jadi ( )> (Nk=0,504). Kesimpulan kita menolak hipotesis yang menyatakan tidak ada hubungan anatar curah hujan dan debet DPS Cimanuk-leuwigoong.

 Keputusan yang dapat dieberikan dari analisis tersebut adalah terjadi hubungan antara curah hujan dan debet DPS Cimanuk-leuwigoong pada tingkat signikan 5% adalah pernyataan yang dapat diterima.

 Dengan demikian, penggunaan koefisien korelasi peringkat (RP) mempunyai keuntungan jika dibandingkan dengan penggunaan koeefisien korelasi  (R): Perhitungan lebih sederhana dan tepat.
 Tidak perlu menganggap variabel X dan Y mengikuti distribusi normal.
 Juga tidak perlu mengganggap bahwa hubungan antara variabel X dan Y harus linier.
 Hubungan tidak linierpun, misalnya adanya hubungan kurvilinier, maka koefisien korelasi dapat diduga dengan koefisien korelasi peringkat.

TEOREMA PERMUTASI

NAMA         : ZIA ALHAQ

NIM            : 21090115120071     

            Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek.

1.Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

            Susunan r unsur dari n unsur yang berlainan dengan memperhatikan urutan disebut permutasi r unsur dari n unsur (r ≤ n). Misalkan, kita diminta menyusun tiga huruf dari A, B, dan C, akan disusun 2 huruf dengan urutan yang berbeda, maka susunan yang diperoleh adalah AB, AC, BA, BC, CA, dan CB. Seluruhnya ada 6 susunan yang berbeda, setiap susunan ini disebut permutasi 2 unsur dari 3 unsur yang tersedia. Banyaknya permutasi r unsur dari n unsur dilambangkan dengan P(r,n). Penulisan lambang permutasi P(r,n) dapat juga ditulis nPr.

Rumus

Contoh

            Menjelang Pergantian kepengurusan BEM UNDIP akan dibentuk pengurus inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon pengurus tersebut ada 4 orang yaitu: a, b, c, dan d. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?

Jawab:

     4P2 = 4! / (4-2)!

            = (4.3.2.1) / (2.1)

            = 24/2

            = 12

Jadi, banyaknya pasang calon yang berbeda dari empat orang tersebut adalah 12 pasang.

2. Permutasi Siklis

            Penentuan susunan melingkar dapat diperoleh dengan menetapkan satu objek pada satu posisi, kemudian menentukan kemungkinan posisi objek lain yang sisa, sehingga bila tersedia n unsur berbeda, maka banyaknya permutasi siklis dari n unsure adalah: 

Contoh

            

3. Permutasi Berulang

            Misalkan tersedia n unsur yang berbeda, banyak permutasi r unsur yang diambil dari unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) sama dengan 

Contoh

            Berapa banyak bilangan yang terdiri atas dua angka yang disusun dari angka-angka 1, 2, dan 3 jika angka-angka yang tersedia boleh ditulis berulang?

Jawab:

        P = 32

            = 9

Jadi, banyak bilangan yang dapat disusun adalah 9 bilangan

Metode Marshal Edgewarth

NAMA      : Diandra Aini

NIM         : 21090114120016

Menurut metode ini, angka indeks ditimbang dihitung dengan cara menggabungkan kuantitas tahun dasar dan kuantitas tahun n, kemudian mengalikannya dengan harga pada tahun dasar atau harga pada tahun n.

Angka indeks Marshal Edgewarth dapat dirumuskan sebagai berikut :

Untuk lebih jelasnya, perhatikan data pada tabel di bawah ini agar kamu dapat mencari angka indeks Marshal Edgewarth.

Berdasarkan data di atas, maka angka indeks Marshal Edgewarth dapat dihitung sebagai berikut.

Uji Kruskal-Wallis

NAMA     : Marandika Asa

NIM        : 21090114130122

Analisis Varian Ranking Satu Arah Kruskal-Wallis

(Uji Kruskal-Wallis)

Analisis varian ranking satu arah Kruskal-Wallis atau biasa disebut Uji Kruskal-Wallis pertama kali diperkenalkan oleh William H. Kruskal dan W. Allen Wallis pada tahun 1952. Uji ini merupakan salah satu uji statistik nonparametrik dalam kasus k sampel independen. Uji Kruskal-Wallis digunakan untuk menguji apakah k sampel independen berasal dari populasi yang berbeda, dengan kata lain uji ini dapat digunakan untuk menguji hipotesis nol bahwa k sampel independen berasal dari populasi yang sama atau identik dalam hal harga rata-ratanya. Oleh karena itu, uji Kruskal-Wallis juga merupakan perluasan dari uji Mann-Whitney.

Menurut D.C. Montgomery (2005), apabila asumsi kenormalan yang dibutuhkan oleh metode statistika parametrik tidak dapat dipenuhi, maka peneliti dapat menggunakan metode alternatif sebagai pengganti analisis varian satu arah (One way ANOVA) yaitu Kruskal-Wallis Test. Sedangkan menurut Wayne W. Daniel dalam bukunya Applied Nonparametric Statistic, beberapa syarat yang harus dipenuhi dalam menggunakan Kruskal-Wallis Test adalah:

1.      Pengamatan harus bebas satu sama lain (tidak berpasangan/independent).

2.      Tipe data setidak-tidaknya adalah ordinal.

3.      Variabel yang diamati merupakan variabel yang berdistribusi kontinyu.

Dasar Pemikiran dan Metode

Data untuk pengujian Kruskal-Wallis pada umumnya dituangkan dalam tabel N baris dan k kolom. Banyaknya sampel yang terpilih dituliskan dalam tabel secara baris, sedangkan kelompok atau kategori yang tersedia dituliskan secara kolom.

Dalam penghitungan uji Kruskal-Wallis ini, masing-masing nilai observasi diberi ranking secara keseluruhan dalam satu rangkaian. Pemberian ranking diurutkan dari nilai yang terkecil hingga nilai yang terbesar. Nilai yang terkecil diberi ranking 1 dan nilai yang terbesar diberi ranking N (dimana N adalah jumlah seluruh observasi). Apabila terdapat angka yang sama, maka ranking dari nilai-nilai tersebut adalah rata-rata ranking dari nilai-nilai observasi tersebut.

Jika seluruh nilai observasi telah diberi ranking, langkah selanjutnya adalah menghitung jumlah ranking dari masing-masing kolom (R_j).

Sampel	Kelompok / Kategori
	1	R	2	R	…	k	R
1 2 . . . nj	X11 X21 Xn1	R11 R21 Rn1	X12 X22 Xn2	R12 R22 Rn2	… … …	X1k X2k Xnk	R1k R2k Rnk
Rj	-	R1	-	R2	…	-	Rk

Selanjutnya, uji Kruskal-Wallis dapat didefinisikan dengan rumus:

			Rumus (8.1)

 

H: nilai Kruskal-Wallis dari hasil penghitungan Rj: jumlah rank dari kelompok/kategori ke-j nj : banyaknya kasus dalam sampel pada kelompok/kategori ke-j k: banyaknya kelompok/kategori N: jumlah seluruh observasi (N=n1+n2+n3+………..+nk)

dimana,

H: nilai Kruskal-Wallis dari hasil penghitungan

R_j: jumlah rank dari kelompok/kategori ke-j

n_j : banyaknya kasus dalam sampel pada kelompok/kategori ke-j

k: banyaknya kelompok/kategori

N: jumlah seluruh observasi (N=n₁+n₂+n₃+………..+n_k) 

Jika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai observasi sehingga mengakibatkan banyak  nilai ranking yang sama, maka perlu adanya koreksi pada rumus penghitungan uji Kruskal-Wallis, dengan faktor koreksinya adalah:

			Rumus (8.2)

 

dimana,

 t : banyaknya nilai observasi tertentu yang sama pada serangkaian nilai observasi

N : jumlah seluruh observasi (N=n₁+n₂+n₃+………..+n_k)

Sehingga rumus uji Kruskal-Wallis dengan kasus angka sama berjumlah banyak adalah:

			Rumus (8.3)

 

Metode dan Prosedur

1.      Penentuan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

H₀ : k sampel berasal dari populasi yang sama

H₁ : k sampel berasal dari populasi yang berbeda

2.      Menentukan Tes Statistik / Statistik Uji

Karena tujuannya adalah menguji apakah k sampel independen berasal dari populasi yang sama maka uji statistik yang kita gunakan adalah uji Kruskal-Wallis dengan statistik ujinya H yang berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1).

3.      Menentukan Tingkat Signifikansi

Tingkat signifikansi a adalah bilangan yang mencerminkan besarnya peluang menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol bernilai benar.

4.      Distribusi Sampling

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1). Nilai H dapat dihitung dengan Rumus (8.1). Adapun ketentuan penggunaan tabel adalah sebagai berikut:

a.       Jika k=3 dan n_j £ 5 (j=1;2;3), Tabel O dapat digunakan untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H_0.

b.      Dalam kasus lain, dapat digunakan Tabel C dengan derajat bebas (k-1)

5.      Daerah Penolakan

Daerah penolakan terdiri dari semua harga H yang sedemikian besar sehingga kemungkinan yang berkaitan dengan terjadinya harga – harga itu di bawah H₀ sama dengan atau kurang dari a.

6.      Keputusan

H₀ akan ditolak jika nilai H ³ c_a(k-1) atau nilai p-value £ a sebaliknya H₀ akan gagal ditolak jika nilai H < c_a(k-1) atau nilai p-value > a.

Ringkasan Prosedur

1.      Berilah ranking pada masing – masing nilai observasi dengan urutan dari ranking 1 hingga N.

2.      Tentukan harga R (jumlah ranking) untuk masing – masing kelompok atau kategori.

3.      Jika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai observasi, maka hitunglah harga H dengan menggunakan Rumus (8.3). Jika tidak, gunakanlah Rumus (8.1).

4.      Metode untuk menilai signifikansi harga observasi H bergantung pada besarnya k dan banyaknya sampel pada setiap kelompok/kategori tersebut.

a.       Jika k=3 dan n_j £ 5 (j=1;2;3), Tabel O dapat digunakan untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H_0.

b.      Dalam kasus lain, dapat digunakan Tabel C dengan derajat bebas (k-1).

5.      Jika kemungkinan yang berkaitan dengan harga observasi H adalah sama atau kurang dari a, maka tolak H₀ dan terima H_1.

Contoh Soal Uji Kruskal-Wallis

Contoh 1

Untuk membandingkan tingkat keefektifan dari 3 macam metode diet, maka sebanyak 22 orang mahasiswi yang dipilih dari suatu universitas dibagi ke dalam 3 kelompok yang mana masing-masing kelompok mengikuti program diet selama empat minggu sesuai dengan metode yang telah dibuat. Setelah program diet berakhir, maka diperoleh banyaknya berat badan yang hilang (dalam kg) dari mahasiswi-mahasiswi tersebut sebagai berikut:

Metode Diet 1		Metode Diet 2		Metode Diet 3
Sampel	Berat Badan (BB) yg hilang	Sampel	Berat Badan (BB) yg hilang	Sampel	Berat Badan (BB) yg hilang
1	5,3	1	6,3	1	2,4
2	4,2	2	8,4	2	3,1
3	3,7	3	9,3	3	3,7
4	7,2	4	6,5	4	4,1
5	6,0	5	7,7	5	2,5
6	4,8	6	8,2	6	1,7
		7	9,5	7	5,3
				8	4,5
				9	1,3

Untuk menguji H_o yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan dari ketiga metode diet di atas adalah sama, terhadap hipotesis alternatif yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan ketiga metode di atas adalah tidak sama (α = 5%).

Jawaban :

o   Hipotesis

H₀ : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah sama

H₁ : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah tidak sama

o   Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test

o   Tingkat Signifikansi : α=5%,

o   Distribusi sampling :

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.

o   Penghitungan

n₁=6 ; n₂=7 ; n₃=9 ; N= n₁ + n₂  + n₃ = 22

Metode Diet 1		Metode Diet 2		Metode Diet 3
BB yg hilang	Ranking	BB yg hilang	Ranking	BB yg hilang	Ranking
5,3	12,5	6,3	15	2,4	3
4,2	9	8,4	20	3,1	5
3,7	6,5	9,3	21	3,7	6,5
7,2	17	6,5	16	4,1	8
6,0	14	7,7	18	2,5	4
4,8	11	8,2	19	1,7	2
		9,5	22	5,3	12,5
				4,5	10
				1,3	1
	R1 = 70		R2 = 131		R3 = 52

   

   

    

       = 15,633

o   Daerah penolakan : H ³ c_a(k-1)  atau p-value £ a

o   Keputusan :

c_0,05(2)  = 5,991

Karena 15,633 > 5,991           H > c_0,05(2)  , maka Tolak H₀

o   Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa tingkat keefektifan dari ketiga metode diet tersebut adalah sama.

Contoh 2

Manajemen  restoran fastfood sangat ingin tahu pendapat langganannya mengenai  pelayanan, kebersihan dan kualitas makanan dari restorannya. Pihak  management ingin membandingkan hasil rating pelanggan untuk tiga shift  yang berbeda, yaitu:

Shift 1: 16.00 – midnight ; Shift 2: midnight – 08.00 ; Shift 3: 08.00 – 16.00

Pelanggan diberi kesempatan untuk mengisi kartu saran. Pada penelitian ini 10 kartu saran (customer card) dipilih secara random, untuk setiap shift. Rating digolongkan dalam empat kategori yaitu 4 = sempurna, 3 = baik, 2 = biasa, 1 = buruk. Diperoleh data seperti dibawah ini:

16.00 - Midnight	Midnight - 08.00	08.00 - 16.00
4	3	3
4	4	1
3	2	3
4	2	2
3	3	1
3	4	3
3	3	4
3	3	2
2	2	4
3	3	1

Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapatkah pihak manajemen mengatakan bahwa karyawannya memberikan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan yang sama sepanjang hari?

Jawaban :

o   Hipotesis

H₀ : Tidak ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

H₁ : Ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

o    Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Persoalan di atas merupakan persoalan k sampel independent. Karena data berada pada skala pengukuran ordinal (ranking), maka Kruskal-Wallis Test dapat digunakan.

o   Tingkat Signifikansi : α = 0,05

o   Distribusi sampling :

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.

o   Penghitungan

n₁= n₂= n₃=10 ; N= n₁ + n₂  + n₃ = 30

16.00-Midnight	Rank	Midnight-08.00	Rank	08.00-16.00	Rank
4	27	3	16.5	3	16.5
4	27	4	27	1	2
3	16.5	2	6.5	3	16.5
4	27	2	6.5	2	6.5
3	16.5	3	16.5	1	2
3	16.5	4	27	3	16.5
3	16.5	3	16.5	4	27
3	16.5	3	16.5	2	6.5
2	6.5	2	6.5	4	27
3	16.5	3	16.5	1	2
	R1 = 186.5		R2 = 156		R3 = 122.5

Penghitungan untuk angka sama dengan koreksi: 

Nilai Observasi	1	2	3	4
t	3	6	14	7
T	24	210	2730	336

    = 3,01

o   Daerah penolakan : H ³ c_a(k-1) atau p-value £ a

o   Keputusan :

c_0,05(2) = 5,991

Karena 3,01 < 5,991               H < c_0,05(2)  , maka gagal tolak H₀

o   Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

Contoh 3

Sebuah perusahaan ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan keterlambatan masuk kerja antara pekerja yang rumahnya jauh atau dekat dari lokasi perusahaan. Misalkan jarak rumah dikategorikan dekat ( kurang dari 10 km), sedang (10 – 15 km) dan jauh ( lebih dari 15 km). Keterlambatan masuk kerja dihitung dalam menit keterlambatan selama sebulan terakhir.
Penelitian dilakukan pada tiga kelompok pekerja dengan sampel acak, dengan masing-masing sampel untuk yang memiliki jarak rumah dekat sebanyak 5 sampel, jarak sedang sebanyak 4 sampel dan jauh sebanyak 3 sampel. Ujilah dengan tingkat kepercayaan 95 %. Datanya sebagai berikut :

Dekat	Sedang	Jauh
59	77	89
110	99	102
132	128	121
143	144
165

Jawaban :

o   Hipotesis

H₀ : Tidak ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.

H₁ : Ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya

o   Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Karena data berada pada skala pengukuran rasio (lama keterlambatan), maka kruskal-wallis dapat digunakan.

o   Tingkat Signifikansi : α = 0,05

o   Penghitungan

n₁= 5 ; n₂= 4 ; n₃= 3 ; N= n₁ + n₂  + n₃ = 12

Dekat	Rank	Sedang	Rank	Jauh	Rank
59	1	77	2	89	3
110	6	99	4	102	5
132	9	128	8	121	7
143	10	144	11
165	12
	R1 =  38		R2 = 25		R3 = 15

    = 1,004

o   Daerah penolakan : p-value £ a

o   Keputusan :

Karena k=3 dan n_j £ 5 (j=1;2;3), maka kita dapat menggunkan Tabel O untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H_0.

Dari tabel O untuk nilai , , dan , p-value untuk H = 1,004 adalah lebih besar dari 0,103 (p-value > 0,103). Karena  p-value > 0,05 , maka gagal tolak H₀

o   Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.