Mean Variabel Acak

NAMA    : Andhyka Cakra
NIM       : 21090114130124

Mean Variabel Acak

Untuk menggambarkan hasil-hasil percobaan sebagai nilai-nilai numerik secara sederhana, kita menggunakan apa yang disebut sebagai variabel acak. Jadi variabel acak dapat didefinisikan sebagai deskripsi numerik dari hasil percobaan.

Variabel acak biasanya menghubungkan nilai-nilai numerik dengan setiap kemungkinan hasil percobaan. Karena nilai-nilai numerik tersebut dapat bersifat diskrit(hasil perhitungan) dan bersifat kontinu(hasil pengukuran) maka variabel acak dapat dikelompokkan menjadi variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu.

Jika X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka mean (rata-rata) atau nilai ekspektasi (harapan) dari X adalah μ, yaitu (diskrit dan kontinu) sbb:

Contoh.
Dilempar 2 buah mata uang, jika X adalah variabel random yg menyatakan banyaknya muncul Angka (A) dalam percobaan tsb, hitunglah nilai ekspektasi X.
Jawab.
Ruang sampel percobaan ini S = {AA,AG,GA,GG}
Probabilitasnya masing-masing
P(X=0) = P(GG)= ¼ P(X=1) =P(AG)+P(GA)=  ½ dan
P(X=2)= P(AA)=1/4
Nilai ekspekstasi X adalah:


Hasil ini berarti rata-rata jikalau percobaan ini dilakukan berulang-ulang dalam jumlah besar, rata-rata jumlah mata angka (A) yg muncul dalam 1x percobaan adalah 1 buah.


Contoh.
Sekotak komponen 7buah diperiksa oleh inspektur QC. Isi kotak tsb 4 komponen baik dan 3 cacat. QC mengambil sampel 3 buah dari kotak tsb. Carilah nilai harapan (rata-rata) banyaknya komponen yang baik yg diperoleh dalam sampel tsb
Jawab:
Kita hitung dulu banyak titik ruang sampel jika diambil 3 dari kotak tsb yg berisi 7. Ini adalah masalah banyak kombinasi 3 obyek yg diambil dari 7 obyek, jadi n(S)=
  n(S) = C73 = 7!/(3!*(7-3)!) = 35.
7 komponen tsb berisi 4 baik dan 3 cacat. Jika diambil 3 buah acak banyaknya kombinasi yg berisi 1 sampel baik (berarti 2 cacat) adalah (ingat urutan tdk berpengaruh):
banyak kombinasi 1 sampel baik dari 4 sampel baik (KALI)
banyak kombinasi 2 sampel cacat dari 3 sampel cacat
n(1baik, 2cacat) = C41*C32 = 4!/(1!3!) * 3!/(2!1!) = 12 buah
Jadi probabilitas terambilnya sampel 3 buah = 1baik +2cacat,
P(1baik, 2cacat) = 12/35.
Jawab:
Definisikan variabel random X= banyak komponen baik dari 3 sampel yg terambil, maka, jika f(x) menyatakan probabilitas mendapatkan X=x, berarti
f(X=1) = 12/35.
Mengikuti pola tsb maka secara umum:


Nilai rata-rata X diperoleh dari:








Soal.
Dalam sebuah permainan si Badu akan mendapat hadiah Rp. 5000 jika hasil pelemparan 3 buah koin
menunjukkan angka semua atau gambar semua. Tapi dia harus membayar Rp 3000 jika yang muncul 1 atau 2 gambar yg muncul dari 3 pelemparan tsb. Berapakah nilai harapan perolehannya?
Jika X adalah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai ekspektasi variabel random g(X) adalah:
Diskrit

Kontinu

Contoh.
Misalkan probabilitas jumlah mobil X yg masuk ke sebuah pencucian mobil antara jam 4 dan 5 adalah sbb:
x 4 5 6 7 8 9
P(X=x) 1/12 1/12 ¼ ¼ 1/6 1/6

Misalkan g(X)=2X-1 adalah bonus yg diberikan perusahaan cuci mobil tsb. Hitunglah nilai ekspektasi dari bonus yg didapat.
Jawab.

Ekspektasi bonus :
E(2X-1) = 7(1/12)+9(1/12)+11(1/4)+13(1/4)+15(1/6)+17(1/6)=12.67