Uji Kruskal-Wallis

NAMA     : Marandika Asa

NIM        : 21090114130122

Analisis Varian Ranking Satu Arah Kruskal-Wallis

(Uji Kruskal-Wallis)

Analisis varian ranking satu arah Kruskal-Wallis atau biasa disebut Uji Kruskal-Wallis pertama kali diperkenalkan oleh William H. Kruskal dan W. Allen Wallis pada tahun 1952. Uji ini merupakan salah satu uji statistik nonparametrik dalam kasus k sampel independen. Uji Kruskal-Wallis digunakan untuk menguji apakah k sampel independen berasal dari populasi yang berbeda, dengan kata lain uji ini dapat digunakan untuk menguji hipotesis nol bahwa k sampel independen berasal dari populasi yang sama atau identik dalam hal harga rata-ratanya. Oleh karena itu, uji Kruskal-Wallis juga merupakan perluasan dari uji Mann-Whitney.

Menurut D.C. Montgomery (2005), apabila asumsi kenormalan yang dibutuhkan oleh metode statistika parametrik tidak dapat dipenuhi, maka peneliti dapat menggunakan metode alternatif sebagai pengganti analisis varian satu arah (One way ANOVA) yaitu Kruskal-Wallis Test. Sedangkan menurut Wayne W. Daniel dalam bukunya Applied Nonparametric Statistic, beberapa syarat yang harus dipenuhi dalam menggunakan Kruskal-Wallis Test adalah:

1.      Pengamatan harus bebas satu sama lain (tidak berpasangan/independent).

2.      Tipe data setidak-tidaknya adalah ordinal.

3.      Variabel yang diamati merupakan variabel yang berdistribusi kontinyu.

Dasar Pemikiran dan Metode

Data untuk pengujian Kruskal-Wallis pada umumnya dituangkan dalam tabel N baris dan k kolom. Banyaknya sampel yang terpilih dituliskan dalam tabel secara baris, sedangkan kelompok atau kategori yang tersedia dituliskan secara kolom.

Dalam penghitungan uji Kruskal-Wallis ini, masing-masing nilai observasi diberi ranking secara keseluruhan dalam satu rangkaian. Pemberian ranking diurutkan dari nilai yang terkecil hingga nilai yang terbesar. Nilai yang terkecil diberi ranking 1 dan nilai yang terbesar diberi ranking N (dimana N adalah jumlah seluruh observasi). Apabila terdapat angka yang sama, maka ranking dari nilai-nilai tersebut adalah rata-rata ranking dari nilai-nilai observasi tersebut.

Jika seluruh nilai observasi telah diberi ranking, langkah selanjutnya adalah menghitung jumlah ranking dari masing-masing kolom (R_j).

Sampel	Kelompok / Kategori
	1	R	2	R	…	k	R
1 2 . . . nj	X11 X21 Xn1	R11 R21 Rn1	X12 X22 Xn2	R12 R22 Rn2	… … …	X1k X2k Xnk	R1k R2k Rnk
Rj	-	R1	-	R2	…	-	Rk

Selanjutnya, uji Kruskal-Wallis dapat didefinisikan dengan rumus:

			Rumus (8.1)

 

H: nilai Kruskal-Wallis dari hasil penghitungan Rj: jumlah rank dari kelompok/kategori ke-j nj : banyaknya kasus dalam sampel pada kelompok/kategori ke-j k: banyaknya kelompok/kategori N: jumlah seluruh observasi (N=n1+n2+n3+………..+nk)

dimana,

H: nilai Kruskal-Wallis dari hasil penghitungan

R_j: jumlah rank dari kelompok/kategori ke-j

n_j : banyaknya kasus dalam sampel pada kelompok/kategori ke-j

k: banyaknya kelompok/kategori

N: jumlah seluruh observasi (N=n₁+n₂+n₃+………..+n_k) 

Jika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai observasi sehingga mengakibatkan banyak  nilai ranking yang sama, maka perlu adanya koreksi pada rumus penghitungan uji Kruskal-Wallis, dengan faktor koreksinya adalah:

			Rumus (8.2)

 

dimana,

 t : banyaknya nilai observasi tertentu yang sama pada serangkaian nilai observasi

N : jumlah seluruh observasi (N=n₁+n₂+n₃+………..+n_k)

Sehingga rumus uji Kruskal-Wallis dengan kasus angka sama berjumlah banyak adalah:

			Rumus (8.3)

 

Metode dan Prosedur

1.      Penentuan Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

H₀ : k sampel berasal dari populasi yang sama

H₁ : k sampel berasal dari populasi yang berbeda

2.      Menentukan Tes Statistik / Statistik Uji

Karena tujuannya adalah menguji apakah k sampel independen berasal dari populasi yang sama maka uji statistik yang kita gunakan adalah uji Kruskal-Wallis dengan statistik ujinya H yang berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1).

3.      Menentukan Tingkat Signifikansi

Tingkat signifikansi a adalah bilangan yang mencerminkan besarnya peluang menolak hipotesis nol ketika hipotesis nol bernilai benar.

4.      Distribusi Sampling

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1). Nilai H dapat dihitung dengan Rumus (8.1). Adapun ketentuan penggunaan tabel adalah sebagai berikut:

a.       Jika k=3 dan n_j £ 5 (j=1;2;3), Tabel O dapat digunakan untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H_0.

b.      Dalam kasus lain, dapat digunakan Tabel C dengan derajat bebas (k-1)

5.      Daerah Penolakan

Daerah penolakan terdiri dari semua harga H yang sedemikian besar sehingga kemungkinan yang berkaitan dengan terjadinya harga – harga itu di bawah H₀ sama dengan atau kurang dari a.

6.      Keputusan

H₀ akan ditolak jika nilai H ³ c_a(k-1) atau nilai p-value £ a sebaliknya H₀ akan gagal ditolak jika nilai H < c_a(k-1) atau nilai p-value > a.

Ringkasan Prosedur

1.      Berilah ranking pada masing – masing nilai observasi dengan urutan dari ranking 1 hingga N.

2.      Tentukan harga R (jumlah ranking) untuk masing – masing kelompok atau kategori.

3.      Jika ditemukan angka sama sebanyak lebih dari 25% nilai observasi, maka hitunglah harga H dengan menggunakan Rumus (8.3). Jika tidak, gunakanlah Rumus (8.1).

4.      Metode untuk menilai signifikansi harga observasi H bergantung pada besarnya k dan banyaknya sampel pada setiap kelompok/kategori tersebut.

a.       Jika k=3 dan n_j £ 5 (j=1;2;3), Tabel O dapat digunakan untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H_0.

b.      Dalam kasus lain, dapat digunakan Tabel C dengan derajat bebas (k-1).

5.      Jika kemungkinan yang berkaitan dengan harga observasi H adalah sama atau kurang dari a, maka tolak H₀ dan terima H_1.

Contoh Soal Uji Kruskal-Wallis

Contoh 1

Untuk membandingkan tingkat keefektifan dari 3 macam metode diet, maka sebanyak 22 orang mahasiswi yang dipilih dari suatu universitas dibagi ke dalam 3 kelompok yang mana masing-masing kelompok mengikuti program diet selama empat minggu sesuai dengan metode yang telah dibuat. Setelah program diet berakhir, maka diperoleh banyaknya berat badan yang hilang (dalam kg) dari mahasiswi-mahasiswi tersebut sebagai berikut:

Metode Diet 1		Metode Diet 2		Metode Diet 3
Sampel	Berat Badan (BB) yg hilang	Sampel	Berat Badan (BB) yg hilang	Sampel	Berat Badan (BB) yg hilang
1	5,3	1	6,3	1	2,4
2	4,2	2	8,4	2	3,1
3	3,7	3	9,3	3	3,7
4	7,2	4	6,5	4	4,1
5	6,0	5	7,7	5	2,5
6	4,8	6	8,2	6	1,7
		7	9,5	7	5,3
				8	4,5
				9	1,3

Untuk menguji H_o yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan dari ketiga metode diet di atas adalah sama, terhadap hipotesis alternatif yang menyatakan bahwa tingkat keefektifan ketiga metode di atas adalah tidak sama (α = 5%).

Jawaban :

o   Hipotesis

H₀ : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah sama

H₁ : tingkat keefektifan dari ketiga metode diet adalah tidak sama

o   Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test

o   Tingkat Signifikansi : α=5%,

o   Distribusi sampling :

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.

o   Penghitungan

n₁=6 ; n₂=7 ; n₃=9 ; N= n₁ + n₂  + n₃ = 22

Metode Diet 1		Metode Diet 2		Metode Diet 3
BB yg hilang	Ranking	BB yg hilang	Ranking	BB yg hilang	Ranking
5,3	12,5	6,3	15	2,4	3
4,2	9	8,4	20	3,1	5
3,7	6,5	9,3	21	3,7	6,5
7,2	17	6,5	16	4,1	8
6,0	14	7,7	18	2,5	4
4,8	11	8,2	19	1,7	2
		9,5	22	5,3	12,5
				4,5	10
				1,3	1
	R1 = 70		R2 = 131		R3 = 52

   

   

    

       = 15,633

o   Daerah penolakan : H ³ c_a(k-1)  atau p-value £ a

o   Keputusan :

c_0,05(2)  = 5,991

Karena 15,633 > 5,991           H > c_0,05(2)  , maka Tolak H₀

o   Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa tingkat keefektifan dari ketiga metode diet tersebut adalah sama.

Contoh 2

Manajemen  restoran fastfood sangat ingin tahu pendapat langganannya mengenai  pelayanan, kebersihan dan kualitas makanan dari restorannya. Pihak  management ingin membandingkan hasil rating pelanggan untuk tiga shift  yang berbeda, yaitu:

Shift 1: 16.00 – midnight ; Shift 2: midnight – 08.00 ; Shift 3: 08.00 – 16.00

Pelanggan diberi kesempatan untuk mengisi kartu saran. Pada penelitian ini 10 kartu saran (customer card) dipilih secara random, untuk setiap shift. Rating digolongkan dalam empat kategori yaitu 4 = sempurna, 3 = baik, 2 = biasa, 1 = buruk. Diperoleh data seperti dibawah ini:

16.00 - Midnight	Midnight - 08.00	08.00 - 16.00
4	3	3
4	4	1
3	2	3
4	2	2
3	3	1
3	4	3
3	3	4
3	3	2
2	2	4
3	3	1

Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapatkah pihak manajemen mengatakan bahwa karyawannya memberikan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan yang sama sepanjang hari?

Jawaban :

o   Hipotesis

H₀ : Tidak ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

H₁ : Ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

o    Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Persoalan di atas merupakan persoalan k sampel independent. Karena data berada pada skala pengukuran ordinal (ranking), maka Kruskal-Wallis Test dapat digunakan.

o   Tingkat Signifikansi : α = 0,05

o   Distribusi sampling :

H mendekati distribusi Chi-Square dengan derajat bebas (k-1), sehingga wilayah kritis dapat ditentukan dengan menggunakan Tabel C.

o   Penghitungan

n₁= n₂= n₃=10 ; N= n₁ + n₂  + n₃ = 30

16.00-Midnight	Rank	Midnight-08.00	Rank	08.00-16.00	Rank
4	27	3	16.5	3	16.5
4	27	4	27	1	2
3	16.5	2	6.5	3	16.5
4	27	2	6.5	2	6.5
3	16.5	3	16.5	1	2
3	16.5	4	27	3	16.5
3	16.5	3	16.5	4	27
3	16.5	3	16.5	2	6.5
2	6.5	2	6.5	4	27
3	16.5	3	16.5	1	2
	R1 = 186.5		R2 = 156		R3 = 122.5

Penghitungan untuk angka sama dengan koreksi: 

Nilai Observasi	1	2	3	4
t	3	6	14	7
T	24	210	2730	336

    = 3,01

o   Daerah penolakan : H ³ c_a(k-1) atau p-value £ a

o   Keputusan :

c_0,05(2) = 5,991

Karena 3,01 < 5,991               H < c_0,05(2)  , maka gagal tolak H₀

o   Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada perbedaan rating pelanggan untuk pelayanan, kebersihan, dan kualitas makanan antara ketiga shift tersebut.

Contoh 3

Sebuah perusahaan ingin mengetahui apakah terdapat perbedaan keterlambatan masuk kerja antara pekerja yang rumahnya jauh atau dekat dari lokasi perusahaan. Misalkan jarak rumah dikategorikan dekat ( kurang dari 10 km), sedang (10 – 15 km) dan jauh ( lebih dari 15 km). Keterlambatan masuk kerja dihitung dalam menit keterlambatan selama sebulan terakhir.
Penelitian dilakukan pada tiga kelompok pekerja dengan sampel acak, dengan masing-masing sampel untuk yang memiliki jarak rumah dekat sebanyak 5 sampel, jarak sedang sebanyak 4 sampel dan jauh sebanyak 3 sampel. Ujilah dengan tingkat kepercayaan 95 %. Datanya sebagai berikut :

Dekat	Sedang	Jauh
59	77	89
110	99	102
132	128	121
143	144
165

Jawaban :

o   Hipotesis

H₀ : Tidak ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.

H₁ : Ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya

o   Tes Statistik : Kruskal-Wallis Test. Karena data berada pada skala pengukuran rasio (lama keterlambatan), maka kruskal-wallis dapat digunakan.

o   Tingkat Signifikansi : α = 0,05

o   Penghitungan

n₁= 5 ; n₂= 4 ; n₃= 3 ; N= n₁ + n₂  + n₃ = 12

Dekat	Rank	Sedang	Rank	Jauh	Rank
59	1	77	2	89	3
110	6	99	4	102	5
132	9	128	8	121	7
143	10	144	11
165	12
	R1 =  38		R2 = 25		R3 = 15

    = 1,004

o   Daerah penolakan : p-value £ a

o   Keputusan :

Karena k=3 dan n_j £ 5 (j=1;2;3), maka kita dapat menggunkan Tabel O untuk menentukan nilai yang berkaitan dengan harga di bawah H_0.

Dari tabel O untuk nilai , , dan , p-value untuk H = 1,004 adalah lebih besar dari 0,103 (p-value > 0,103). Karena  p-value > 0,05 , maka gagal tolak H₀

o   Kesimpulan : Dengan tingkat kepercayaan 95 %, belum cukup bukti untuk menyatakan bahwa ada perbedaan lama keterlambatan antara tiga kategori pekerja berdasarkan jarak rumahnya.